Муж подсунул мне с хитрым видом задачу с месяц назад. Женщина я занятая: дети, работа, муж, дом, все руки не доходили. А три дня назад услали детей "на деревню дедушке", образовалось свободное время. Да и на мужа жалко стало смотреть, решила все-таки вмешаться в "игры неповзрослевших мужчин.
Я - совсем скромный и обыкновенный юзер и к компьютерам испытываю атавистическое недоверие и даже неприязнь: приходится делить мужа с одной такой машинкой. Потому предпочитаю решать такие задачки, полагаясь на собственную интуицию, логику и скромные, еще не улетучившиеся познания в математике.
Вот вам одно совсем "ручное" решение.
Пусть a и b - катеты, а с - гипотенуза прямоугольного треугольника, т.е.
a*a + b*b = c*c (1)
Известно, что площадь его
S = a*b = 311850*k (2)
где к - простое число, и (как уже доказал GAW на прошлой неделе) k = 2, так как один из катетов должен делиться на 4
Получаем
a*b = 311850*2 (3)
Как известно, тройки взаимно простых пифагоровых чисел образуются по формулам:
a = m*m - n*n
b = 2*m*n (4)
c = m*m + n*n
Но все дело в том, что пифагоровы тройки не ограничиваются только взаимно простыми числами, а не взаимно простые получаются путем умножения правых частей на один и тот же коэффициент, обозначим его i:
a = i*(m*m - n*n)
b = i*2*m*n (5)
c = i*(m*m + n*n)
Подставляя a и b от (5) в (3) получаем
i*i*(m*m - n*n)*2*m*n = 2*311850
или
i*i*(m + n)*(m - n)*m*n = 311850 (6)
Ясно, что i, m + n, m - n, m и n могут быть только множителями числа 311850 = 1*2*3*3*3*3*5*5*7*11, причем i должно встречаться в качестве множителя не менее двух раз (чтобы получить i*i). Отсюда следует, что i может быть равно 3, 5, 9 (3*3), 15 (3*5) и 45 (3*3*5).
А дальше все просто. Да, опять перебирание и комбинирование, но доступное даже школьнику. Следует только иметь ввиду, что m и n - взаимно простые числа, m>n>0, одно из них обязательно четное (вытекает из делимости b на 4), и их сумма и разность должны тоже быть множителями 311850.
В качестве примера рассмотрю решение для самого маленького числа, которое содержит самое большое число комбинаций.
1) i = 3
3*3*(m + n)*(m - n)*m*n = 1*2*3*3*3*3*5*5*7*11
или
(m + n)*(m - n)*m*n = 1*2*9*25*7*11
Возможны комбинации
m n m+n m-n
18 7 25 11
18 11 29 7
14 11 25 3
14 9 23 5
22 11 33 11
22 9 31 13
.............................
Есть и другие, но они совсем вне логики, например:
50 11 61 39
или
25 18 43 7
и нормальный человек (не компьютер) просто не станет их рассматривать.
Как видно, только первая четверка представляет собой решение No1.
2) i = 5 - нет решений
3) i = 9 - нет решений
4) i = 15 - решение No2
m = 9, n = 2, m+n = 11, m-n = 7
5) i = 45 - нет решений
Число комбинаций, сами понимаете, с увеличением i, а точнее числа множителей, входящих в него, сокращается, что значительно облегчает задачу. Для i = 15 комбинация только одна, а для i = 45 комбинаций практически нет.
И, наконец, окончательное решение:
No1
i = 3, m = 18, n = 7
a = 3*(18*18 - 7*7) = 825
b = 3*2*18*7 = 765
c = 3*(18*18 + 7*7) = 1119
No2
i = 15, m = 9, n = 2
a = 15*(9*9 - 2*2) = 1155
b = 15*2*9*2 = 540
c = 15*(9*9 + 2*2) = 1275
Естественно, им соответствуют "зеркальные" решения, где катеты меняются местами.
Так что, если полковник Желе к моменту заключения пари не забыл основные свойства чисел Пифагора, имел под рукой три листа бумаги и что-нибудь пишущее, наверняка выиграл "Паркер", и то не за три дня и бессонные ночи, а за 3, пусть за 4 часа, зависит от его способностей к комбинированию и человеческой математической логики.
Все же надеюсь, хотя бы из личной симпатии, что хитрость Сент-Екз (достаточно запомнить одну четверку взаимно простых m, n, m+n, m-n, дающих пифагорову тройку, а после - умножай их хоть на что) удалась. Думаю, однако, что он знал только одно решение (m = 9, n = 2, m + n = 11, m - n = 7). Магия чисел 2, 9, 7, 11 в раскладе 311850 сразу мне бросилась в глаза и направила на путь истинный.
Вот, пожалуй, и все.
Привет всей честной мужской компьютерной компании!