Задачка Сент-Экзюпери

Теги:авиация
 

Nilli

опытный

Пари между Сент-Экзюпери и его товарищем полковником Максом Желе

15 июля 1944 года

Прямоугольный параллелепипед с высотой, равной диагонали основания, состоит из отдельных кубиков со стороной в один сантиметр. Площадь основания равна произведению 311850 на неизвестное простое число.

Определить высоту параллелепипеда.

Если полковник Желе, выпускник Политехники, решит мою задачу за три дня и три бессонных ночи, обязуюсь подарить ему авторучку Паркер-51. Если он ее не решит за три дня, он мне подарит шесть пачек Филип Морис.


Источник - Antoine de Saint-Exupery, Ecrits de guerre 1939-1944, Gallimard, 1982



Попробуйте решить задачу в условиях, близких к полевым. Применение компьютеров, калькуляторов и даже таблиц простых чисел отвергается с возмущением. Будем их использовать после того, как и мы проиграем:)

[Edited by varban (25-06-2000 at 19:45).]

[Edited by varban (25-06-2000 at 23:04).]
 
+
-
edit
 

genadich

втянувшийся
Вопрос возник по условию.
Такое чувство, что число или в 2 раза больше, или в 2 раза меньше. Иначе корень из 2 лезет - не целое число. А так - задача делается минут за 6-7 легко:) (Ответ пока не публикую:))
 
+
-
edit
 

varban

администратор
★★★★
Текст на бумаге - единственное, что у меня есть. Тоже имеются соображения, напишу о них после юбилея.
Дело в том, что 29.06 исполняются 100 лет со дня рождения Сент-Екз. Вот таким манером и отметим.
 
+
-
edit
 

genadich

втянувшийся
Извините, но 12 - не простое число;)
А так -здоровско! ;)))
 

YG

новичок
Задача решается легко минут в 5-10 в поставленных условиях.
Если обозначить 311850 за s, то стороны основания a=3*s, b=4*s, неизвестное число тогда = 12*s. Высота h=sqrt( a2 + b2 )= 5*s= 1559250.
Хотя, конечно, это не единственный ответ. Задача звучала бы интереснее, если было бы сказано, что надо найти минимальную высоту, тогда может все это было бы не так просто...
 
+
-
edit
 

Sergey

новичок
Да , странно. По моему что-то не то с условием. Большое число из условия должно делиться на 12. А оно не делится. Возможно мне это кажется.
 

rvb

новичок
По-моему, что-то не так с условием (похоже на опечатку в числе - получается условие несовместное).

Решение задачи:

Пусть стороны основания a и b.

a*b=311850*x, где x - простое число. (1)

Поскольку параллелепипед состоит из отдельных кубиков, а высота равна диагонали основания, то диагональ основания должна быть целым числом, т.е.:

d=sqrt(a*b) - целое (2)

Из (1) и (2)

d=sqrt(a*b)=sqrt(311850*x)

Начинаем выносить множители-полные квадраты из 311850 за знак радикала:

d=sqrt(a*b)=sqrt(311850*x)=sqrt(52*92*154*x)=5*9*sqrt(154*x)

Т.е. приходим к требованию, чтобы

sqrt(154*x)

было целым числом.

Поскольку 154=2*7*11, для выполнения требования целочисленности необходимо, чтобы

x=2*7*11*a2, где a - произвольное целое число

Поскольку по исходному условию x - простое число, получаем противоречие.

S.Y. Roman

P.S. Эх, давно я не брал в руки шашку :)
 
+
-
edit
 

Balancer
Guest

гость
>d=sqrt(a*b) - целое (2)

d=sqrt(a*a+b*b) :)

>P.S. Эх, давно я не брал в руки шашку :)

Точно! :))
 

rvb

новичок
Пардон, облажался :(.

Видно, спать надо больше :)

S.Y. Roman
 
+
-
edit
 

varban

администратор
★★★★
Задачка интересная. Поскольку есть активность, изложу и свои изыски.
Набрел на нее в поисках материалов о Сент-Экз - и то в бумажном виде на болгарском языке. Пока не нашел оригинал, не публиковал в инете. Решать стал после публикации. Ход моих мыслей был примерно таким же, как и выше, но жена порекомендовала обратить внимание на числа Пифагора. Их, оказывается, можно получить следующим образом: Пусть m > n > 0 Тогда
x = m*m - n*n
y = 2*m*n
z = m*m + n*n
Проверял, верно, можете использовать в своих прогах :)
И дальше пошло... Находил опечатки аналитически, как выше, чуть ли не новые теоремы из теории чисел придумывал. Чувствовал себя наверное как полк. Желе. На это потерял я те же три дня. Но вычсредствами честно не пользовался - как и все на форуме.
Сегодня после работы сказал себе: эх, давно я не брал в руки шашку и достал автомат Калашникова. В виде C Builder-а. Сначала сдуру составил алгоритм нахождение простых чисел по Эратосфену. Потом за час написал и отладил программу перебора. Получил первый ответ и стал проверять Нортоновским калькулятором. И диагональ оказалась дробной знака после третьего. С майкрософтским - то же. Естественно, стал искать ошибку в логику, перешел на long double. Еще час. Вписал проверку умножением прямо в программу, достал э, как бы сказать...во: хардверный калькулятор. Все сошлось. Комп насчитал сотню ответов, не стал ждать больше и прервал. Вот один:
Неизвестное простое число - 2, a = 1155, b = 540; d = h = 1275.
Потери времени - часа три только на программирование.

А вот и соображения, которые я хотел высказать к юбилею.
Сент-Экз просто разыграл Желе. Он считал, и справедливо, задачу нерешимой. Наверняка три дня (и три бессонные ночи :) ) вся группа 2/33 смеялась над полковником. Тем более и текст составлен с издевкой. А страдания полковника легко представить (особенно мне :) - наверняка хотел получить авторучку знаменитого писателя и старался. Ну что, в этом Экзюпери не отличался от остальных летчиков - всегда был готов пошутить, разыграть, потрепатся, посидеть... А 14 июня чуть не потерял сознание из-за отказа регулятора подачи кислорода в маске.
Вот только свои шест пачек Сент-Экз вряд ли получил. 17 июля он вылетел в Корсику на новую базу.
18 июля - боевой вылет, 21-27 июля - связной Корсика-Алжир-Тунис-Алжир-Корсика.
31 июля в 8:45 Сент-Экзюпери запускает двигaтели своего Лайтнинга No 223 и взлетает навсегда.
 
+
-
edit
 

Sergey

новичок
интересная задача. Спасибо за освежение мозгов. У меня выпало из головы , что Пифагоровы числа не исчерпываются тройками , кратными 3,4,5.
 
+
-
edit
 

genadich

втянувшийся
Уважаемый varban!Спасибо за топик! Увы, вынужден был выпасть из весьма любопытного обсуждения по не зависящим от меня причинам:((( Может у Вас еще что есть на примете подобного?:))
 
+
-
edit
 

Anika

координатор
★★☆
Кстати, есть второй и последний ответ: a=756 b=825 d=h=1119 N=2. Остальные ответы связаны с непростыми числами.
Хорошая задачка!
Когда говорит масло - пушки молчат. А голос пушек - это голос Муз. (c)Ю.Шерман  
+
-
edit
 

varban

администратор
★★★★
Кстати, есть второй и последний ответ: a=756 b=825 d=h=1119 N=2. Остальные ответы связаны с непростыми числами.
Хорошая задачка!
 

Anika

координатор
★★☆
Как последный? Не понял. Я получил сотню и прервал перебор. Правда, зашел за N = 2.
Когда говорит масло - пушки молчат. А голос пушек - это голос Муз. (c)Ю.Шерман  
+
-
edit
 

varban

администратор
★★★★
Ответов бесконечно много, но "простое" число всегда четное.
Такое только одно - 2. Для него я нашел только два ответа
и уверен, что других нет. Если я неправ - покажите еще ответ
с ПРОСТЫМ числом.
С уважением
 
+
-
edit
 

varban

администратор
★★★★
Вы правы:

Было:
if (modfl(d, &Buf) == .0)
//if ((a*b == Number*Simple) && ((a*a + b*b) == d*d))

А должно быть наоборот:
//if (modfl(d, &Buf) == .0)
if ((a*b == Number*Simple) && ((a*a + b*b) == d*d))


>Видно, спать надо больше :)

Точно:))

Есть подозрение у меня, что аналитическое решение все-таки имеется. Всего два ответа - это подозрительно.
Жена объясняла мне, но я не понял. Пойму - напишу или ее попрошу. Или кто-то из вас?
 

GAW

администратор

(полу)аналитическое решение:

a, b - стороны прямоугольника;
d - диагональ;
S - площадь прямоугольника;
l - простое число;
к - множитель.

Все числа - целые.

Взаимно простые числа Пифагора описываются:
a = m*m - n*n (1)
b = 2*m*n (2)
d = m*m + n*n (3)

Если m > n > 0, то a*a + b*b = d*d

S = 311850*l = a*b
b = l*k <=> a = 311850/k (4)
a*b = (311850/k)*l*k

Из (2) следует, что b - четное, а из (4) - что k или l - четное

В первом, наиболее простом случае - простое число l - четное => l=2, что и требовалось доказать.

Во втором случае получается:

311850/k = m*m - n*n
k*l = 2*m*n
sqrt((311850*311850)/(k*k) + k*k*l*l) = m*m + n*n
l != 2; k - четное

К сожалению, мои попытки решить задачу далее безуспешны, жена не хочет дальше решать;), и MatLab, и Eureka (да, да, еще пользуюсь:) не хотят выдавать целые решения...
Похоже Anika прав, до доказательства противоположного.

И все-таки рано делать разбор полета:)
 

Nilli

опытный

Поздно я обнаружил этот топик, и успел только к шапочному разбору...
Остается только поставить точку. Действуем так:

1. Берем с полки что-нибудь популярное по элементарной алгебре. (Я предлагаю "Занимательную алгебру" Я.И. Перельмана) и читаем параграф про пифагоровы тройки. В моем случае, в самом конце главы читаем нечто похожее:
=================cut================
"Пифагоровы тройки обладают целым рядом интересных свойств, которые мы приводим здесь без доказательств:
.........
Один из катетов обязательно должен делиться на 4.
.........
=================cut=================

2. Мы ищем два катета a и b, такие что
a*b=311850*s, где s простое
Разлагаем на множители
a*b=311850*s = 2*3*3*3*3*5*5*7*11*s
Очевидно, что выделить из правой части множитель, кратный 4 можно, только если s - четное. Т.к. единственное простое четное число - 2, решения задачи возможны только при s=2.

3. Комбинируя простые множители из правой части, находим возможные пифагоровы тройки. Как уже выяснено, решений будет два.

P.S. Для особо въедливых я готов указать схему решения, где не нужно знать о делимости одного из катетов на 4, но она гораздо менее элегантна...
 
+
-
edit
 

varban

администратор
★★★★
Две решения есть - GAW и Irina. Давайте еще, если есть. Сажусь за разбор - моя квалификация, очевидно на это только и годится :)

>До чего компютеры доводят людей - © GAW

>У тебя мозги через 3128 подключены к компу - © Irina

[Edited by varban (17-07-2000 at 13:45).]
 

Irina
irina

новичок
Окончательное решение на мой взгляд должно выглядеть так:

=========================cut====================================

1. Т.к. диагональ основания параллелепипеда равна его высоте, а параллелепипед
сложен из единичных кубиков, диагональ имеет целочисленную длину, т.е. две
стороны и диагональ основания образуют т.н. "пифагорову тройку"

2. Из теории пифагоровых троек известно, что один из катетов должен быть
кратен 4 (этот результат принимаем без доказательства).
Мы ищем два целочисленных катета А и В такие, что А*В=311850*s,
где s - простое число.
Разлагаем на простые множители: А*В =2*3*3*3*3*5*5*7*11*s
Видно, что выделить из правой части множитель, кратный 4 можно,
только если s - четное. Т.к. единственное простое четное число - 2,
задача имеет решения, удовлетворяющие начальным условиям, только при s=2.

3. Таким образом, мы ищем два целочисленных катета А и В такие, что
А*В=2*2*3*3*3*3*5*5*7*11.
Очевидно, что какие бы не были А и В, они являются комбинацией простых
множителей из правой части. Что бы найти все решения задачи, нужно найти
все возможные произведения простых множителей из левой части и проверить
их на соответствие условиям. Искать нужно произведения до 5 множителей
включительно, комбинации с большим числом множителей получаются и
проверяются автоматически. Не вдаваясь в детали, укажу, что я насчитал:
- 5 комбинаций из 1 множителя
- 13 комбинаций из 2 множителей
- 23 комбинации из 3 множителей
- 31 комбинацию из 4 множителей
- 34 комбинации из 5 множителей
(проверять нужно только 17 из них, остальные 17 их дублируют)

Итого 89 вариантов.

Далее, поскольку один из катетов должен делиться на 4, все варианты
с одной двойкой заведомо бесперспективны. Отпадает 30 вариантов.

Оставшиеся 59 вариантов нужно просчитывать.
Среди этих комбинаций только две являются решениями задачи:

А=3*5*7*11=1155,B=2*2*3*3*3*5=540, С=1275
А=3*5*5*11=825, B=2*2*3*3*3*7=756, C=1119

Для тех, кому интересны детали, могу выслать файл Excel c полным анализом
вариантов. Бедный полковник должен был считать все это на бумаге...

Вывод: Может быть, Сент-Экзюпери и разыгрывал полковника, но полковник
вполне мог отыграться за этот розыгрыш и решить задачу: никаких специальных
знаний решение не требует, а объем ручных вычислений вполне посилен, за трое
суток управиться можно. Конечно, нужно знать кое-что из теории чисел, но пари
не запрещало полковнику читать учебники...

==================================cut====================================

Возможно, это решение может быть еще улучшено в
плане уменьшения числа перебираемых вариантов.

GAW


[Редактировалось GAW (19-07-2000 в 13:22).]
 

GAW

администратор

Муж подсунул мне с хитрым видом задачу с месяц назад. Женщина я занятая: дети, работа, муж, дом, все руки не доходили. А три дня назад услали детей "на деревню дедушке", образовалось свободное время. Да и на мужа жалко стало смотреть, решила все-таки вмешаться в "игры неповзрослевших мужчин.
Я - совсем скромный и обыкновенный юзер и к компьютерам испытываю атавистическое недоверие и даже неприязнь: приходится делить мужа с одной такой машинкой. Потому предпочитаю решать такие задачки, полагаясь на собственную интуицию, логику и скромные, еще не улетучившиеся познания в математике.
Вот вам одно совсем "ручное" решение.

Пусть a и b - катеты, а с - гипотенуза прямоугольного треугольника, т.е.
a*a + b*b = c*c (1)
Известно, что площадь его
S = a*b = 311850*k (2)
где к - простое число, и (как уже доказал GAW на прошлой неделе) k = 2, так как один из катетов должен делиться на 4
Получаем
a*b = 311850*2 (3)
Как известно, тройки взаимно простых пифагоровых чисел образуются по формулам:
a = m*m - n*n
b = 2*m*n (4)
c = m*m + n*n
Но все дело в том, что пифагоровы тройки не ограничиваются только взаимно простыми числами, а не взаимно простые получаются путем умножения правых частей на один и тот же коэффициент, обозначим его i:
a = i*(m*m - n*n)
b = i*2*m*n (5)
c = i*(m*m + n*n)
Подставляя a и b от (5) в (3) получаем
i*i*(m*m - n*n)*2*m*n = 2*311850
или
i*i*(m + n)*(m - n)*m*n = 311850 (6)
Ясно, что i, m + n, m - n, m и n могут быть только множителями числа 311850 = 1*2*3*3*3*3*5*5*7*11, причем i должно встречаться в качестве множителя не менее двух раз (чтобы получить i*i). Отсюда следует, что i может быть равно 3, 5, 9 (3*3), 15 (3*5) и 45 (3*3*5).
А дальше все просто. Да, опять перебирание и комбинирование, но доступное даже школьнику. Следует только иметь ввиду, что m и n - взаимно простые числа, m>n>0, одно из них обязательно четное (вытекает из делимости b на 4), и их сумма и разность должны тоже быть множителями 311850.
В качестве примера рассмотрю решение для самого маленького числа, которое содержит самое большое число комбинаций.

1) i = 3

3*3*(m + n)*(m - n)*m*n = 1*2*3*3*3*3*5*5*7*11
или
(m + n)*(m - n)*m*n = 1*2*9*25*7*11
Возможны комбинации
m n m+n m-n
18 7 25 11
18 11 29 7
14 11 25 3
14 9 23 5
22 11 33 11
22 9 31 13
.............................
Есть и другие, но они совсем вне логики, например:
50 11 61 39
или
25 18 43 7
и нормальный человек (не компьютер) просто не станет их рассматривать.
Как видно, только первая четверка представляет собой решение No1.

2) i = 5 - нет решений
3) i = 9 - нет решений
4) i = 15 - решение No2
m = 9, n = 2, m+n = 11, m-n = 7
5) i = 45 - нет решений

Число комбинаций, сами понимаете, с увеличением i, а точнее числа множителей, входящих в него, сокращается, что значительно облегчает задачу. Для i = 15 комбинация только одна, а для i = 45 комбинаций практически нет.
И, наконец, окончательное решение:

No1

i = 3, m = 18, n = 7

a = 3*(18*18 - 7*7) = 825
b = 3*2*18*7 = 765
c = 3*(18*18 + 7*7) = 1119

No2

i = 15, m = 9, n = 2

a = 15*(9*9 - 2*2) = 1155
b = 15*2*9*2 = 540
c = 15*(9*9 + 2*2) = 1275

Естественно, им соответствуют "зеркальные" решения, где катеты меняются местами.
Так что, если полковник Желе к моменту заключения пари не забыл основные свойства чисел Пифагора, имел под рукой три листа бумаги и что-нибудь пишущее, наверняка выиграл "Паркер", и то не за три дня и бессонные ночи, а за 3, пусть за 4 часа, зависит от его способностей к комбинированию и человеческой математической логики.
Все же надеюсь, хотя бы из личной симпатии, что хитрость Сент-Екз (достаточно запомнить одну четверку взаимно простых m, n, m+n, m-n, дающих пифагорову тройку, а после - умножай их хоть на что) удалась. Думаю, однако, что он знал только одно решение (m = 9, n = 2, m + n = 11, m - n = 7). Магия чисел 2, 9, 7, 11 в раскладе 311850 сразу мне бросилась в глаза и направила на путь истинный.
Вот, пожалуй, и все.
Привет всей честной мужской компьютерной компании!
 

Nilli

опытный

Считать, что кроме GAW и Irina, никто другой не решал?
 
AD Реклама Google — средство выживания форумов :)
+
-
edit
 

varban

администратор
★★★★
Признаю, конкурент меня уел.
Я попробовал было этот путь, но он показался мне непродуктивным. А ЗРЯ!!

Второе решение лучше даже не тем, что вариантов для проверки меньше, а тем, что оно ВООБЩЕ не требует громоздких вычислений, кроме расчета конечного результата.

 

в начало страницы | новое
 
Поиск
Настройки
Твиттер сайта
Статистика
Рейтинг@Mail.ru