Простая задачка по небесной механике

Не знаю где создать тему, решил тут.

В общем есть простенькая вроде бы задача.

Дано: некий космический аппарат имеет на высоте H скорость V, причем вектор скорости направлен горизонтально. (Т.е. это точка апогея или перигея). Надо определить высоту в противоположной точке орбиты. Конкретный пример: если на высоте 300 км спутник разогнать скажем до 9 км/с, до какой высоты он поднимется в апогее?

Готовой формулы я не нашел, а сам пытался вывести, че-то не получается, наверное совсем физику забыл

Когда тело летит горизонтально, его вектор скорости и линия на центральное тело совпадают.
Закон Кеплера гласит: за равные времена радиус-вектор, соединяющий центр и тело, описывает равные площади.

Пусть в перигее тело движется со скоростью V_п на расстоянии R_п. В момент времети T₁ оно находится в точке А. Тогда за малое время dt оно сместится в точку B, отстоящую от точки А на расстояние V_пdt; т.к. время dt мало, то фигура, которую опишет радиус-вектор - это практически треугольник с точками A, B и С(центральное тело). Его площадь(т.к. направление AB перпендикулярно AC) - S=R_пV_пdt/2.



Для апогея имеем R_аV_аdt/2.

По закону Кеплера они равны:

R_пV_пdt/2=R_аV_аdt/2

отсюда первое уравнение:

R_пV_п=R_аV_а (1)

Энергия, которое имеет тело в перигее, состоит из кинетической и потенциальной:

mV_п²/2-GMm/R_п

где m - масса тела, M - масса центрального тела.

По закону сохраниния энергии в апогее эти энергии равны:

mV_а²/2-GMm/R_а=mV_а²/2-GMm/R_а

V_а²/2-GM/R_а=V_а²/2-GM/R_а (2)

Выражаем R_a через V_a, R_п, V_п:

R_а=R_пV_п/V_а (3)

подставляем в (2)

Va²/2-GMVa/(RпVп)=Vп²/2-GM/Rп

0.5*V_a²-(GM/(R_пV_п))*V_a-(V_п²/2-GM/R_п)=0

обозначим a=0.5, b=-(GM/(R_пV_п)), c=-(V_п²/2-GM/R_п)

aa²+bVa+c=0

откуда Va=(-b+-sqrt(b²-4ac))/(2a)=(-b+-sqrt(b²-2c))

Два решения дают перегей и апогей:
V_a1 = -b+sqrt(b²-2c) - это перигей = Rp
V_a2 = -b-sqrt(b²-2c) - это апогей
-b - это полуось орбиты

из V_a2 находится R_a.

Зная все это, можно проще:

т.к. среднее между V_а и V_п нам известно, это -b=(V_а+V_п)/2, то, зная V_п, нам не надо вычислять sqrt(b²-2c), т.к. можно проще:

V_a=-2*b-R_п=2*GM/(R_пV_п)-R_п

P.S. Спутник из примера удалится примерно на R_a=15 тыс. км. (если ничего не путаю?).