Родился в селе Слепчицы Черняховского района Житомирской области (Украина). В 1948 году окончил Киевскую спецшколу ВВС.
В армии с 1948 года. В 1951 году окончил Батайское военное авиационное училище лётчиков, до 1954 года был в нём лётчиком-инструктором. В 1959 году окончил Военно-воздушную инженерную академию имени А. Ф. Можайского.
С 1959-го по 1988-й — на лётно-испытательной работе в Государственном Краснознамённом научно-испытательном институте ВВС. В 1975 — 1983 годах был начальником 1-го Управления, занимавшегося испытаниями самолётов в Ахтубинске, а в 1983 — 1988 годах — начальником 4-го Управления, проводившего испытания военно-транспортных самолётов и вертолётов на аэродроме Чкаловский. Провёл государственные испытания сверхзвуковых боевых самолётов МиГ-25Р (1966—1967), МиГ-23Б (1969—1970), МиГ-27К (1974), МиГ-31 (1979), МиГ-29 (1980—1981), реактивного военно-транспортного Ан-124 (1983—1984) и других.
С марта 1971 года по апрель 1972 года участвовал в боевых действиях в Египте. Был командиром особого отряда, состоявшего из секретных в то время сверхзвуковых самолётов-разведчиков МиГ-25Р. Лично совершил 50 боевых вылетов (из них 2 — над территорией Израиля).
За мужество и героизм, проявленные при испытании новой авиационной техники, полковнику Бежевцу Александру Саввичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 апреля 1975 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11232).
В ноябре 1981 года был удостоен Государственной премии СССР за успешные испытания сверхзвукового перехватчика МиГ-31.
С января 1989 года — в запасе. До 1998-го работал представителем Лётно-исследовательского института им. М.М. Громова на аэродроме Чкаловский. Жил там же, в Чкаловском.
Александр Саввич Бежевец скончался 22 июля 2015 года в Центральном научно-исследовательском авиационном госпитале.