Расчёт геометрии проведём из постоянства расхода -
m' = S * v * rho = const
где S - площадь поперечного сечения, а rho - плотность газа - и из следующей модели сопла. Разрез центрально-симметричного сопла по плоскости, проходящей через ось симметрии, будем считать состоящим из двух отрезков (соответствующих сужающейся и расширяющейся частям сопла), сопряжённых с помощью дуги окружности (и такая же фигура - симметрично относительно оси сопла). Угол полураскрыва сужащейся части сопла - 45 градусов, угол полураскрыва расширяющейся части сопла - 15 градусов, радиус сопрягающей окружности - удвоенный радиус критического (самого узкого) сечения сопла. Будем считать, что радиус камеры сгорания равен удвоенному радиусу критического сечения. Нам нужно найти две величины - радиус критического сечения и радиус сопла на срезе, где скорость газов самая большая. Для этого найдём площади поперечных сечений потока в этих точках.
Сначала найдём плотность газа перед соплом. Для одного моля газа
p * V = R * T
поэтому
V = R * T / p
а плотность газа перед входом в сопло
rho0 = (mu * p0) / (R * T0)
Теперь посмотрим, как плотность меняется в зависимости от давления. Поскольку при адиабатическом процессе
p * V^k = const
то отношение объёма газа в любом сечении x к объёму этого же количества газа (а значит, этой же массы газа) перед соплом
Vx / V = (px / p)^(-1/k)
Отношение плотностей, конечно, обратно этому отношению:
rhox / rho0 = (px / p0)^(1/k)
Взяв начальную плотность, которая в камере при давлении p0, получим плотность в произвольной точке потока:
rhox = (px / p0)^(1/k) * ((mu * p0) / (R * T0))
Ещё несколько полезных соотношений: по определению, k = Cp/Cv, а для идеальных газов ещё имеет место Cp - Cv = R. Поэтому
Cp/(Cp - R) = k
Cp = Cp * k - R * k
Cp * (1 - k) = - R * k
Cp = R * k / (k -1)
Выразим в формуле скорости потока Cp через R и k, получим
v = sqrt (2 / mu * R * k / (k -1) * T0 * (1 - (p1 / p0)^((k-1)/k)))
Теперь, наконец, запишем площадь как функцию давления:
S = m' / (v * rho) = m' / ((sqrt (2 / mu * R * k / (k -1) * T0 * (1 - (p1 / p0)^((k-1)/k))))*((px / p0)^(1/k) * ((mu * p0) / (R * T0))))
Вуаля... При изменении давления от p0 до 1 атм эта функция даст минимум в точке критического сечения и площадь среза сопла при p = 1 атм. Посчитать радиусы не составит труда
.