Mikey> В дальнейшем мы рассмотрим свойства сумм простейших потоков. Важным будет тот факт, что сумма простейших потоков (и даже потоков из более широкого класса) асимптотически будет сходиться по распределению к пуассоновскому процессу. Этот факт (что важно для нас) является обоснованием использования уравнений ОЛ. Кроме этого, мы выясним, что появление РЕГУЛЯРНОСТИ в потоке событий нарушает выполнение условий асимптотической «пуассоновости» суммарного потока. Это одна из двух целей\причин появления моего комментария на уважаемом Форуме по теме уравнений ОЛ.
Человек ,конечно, предполагает , но не всегда правильно. Вот и я тоже. Так что прошу уважаемых форумчан не сердиться за то, что я "растянул обещанное" на три месяца.
ОДНО ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ
Во избежание неоднозначности толкования по тексту будем считать простейший поток пуассоновским в том смысле , что количество событий на интервале [0,t] распределено по закону Пуассона с параметром lt
Далее просто напишу то , о чём подумал, когда впервые прочитал (с год назад) об уравнениях ОЛ на Форуме. " ...интересно получается - одно дело большое число источников редких событий с заведомо случайным временем - да, распределение Пуассона скорей всего вполне даже хорошо для оценки сумм потоков таких событий. А вот с УВП идут периодические серии - статистика то заведомо другая . Детям (студентам) понятно. Смотрим с пары УВП серийные пуски - взаимная корелляционная функция и ненулевая и с ненулевым средним. Никакой попарной независимости в суммарном потоке таких пусков ни разу не бывало...." . Это всё быстро проскочило и дальше надо было выяснять, как устроены предельные теоремы для сумм подобных процессов. Основная вопросы «лежали на поверхности» . Суммарный процесс тоже будет простейшим(пуассоновским)? Если будет, то при каких ограничениях на плотность потока? Можно ослабить условия попарной независимости и ординарности?
(необходимость «уйти» от попарной независимости - это сразу очевидно следовало из ненулевой взаимной корреляции, что касается ординарности – здесь у меня были сомнения ,каким образом это свойство соотнести с реальной ситуацией (кстати , вопрос-то остался - адресую его предметным специалистам Форума ))
Далее обратился к работам уважаемого А.Я. Хинчина . Ниже кратко резюмирую относительно нашего случая.
ДВА КЛЮЧЕВЫХ МОМЕНТА ОТНОСИТЕЛЬНО ВОПРОСОВ, УКАЗАННЫХ НЕСКОЛЬКИМИ СТРОКАМИ ВЫШЕ :
1) На произвольном (но конечном) интервале [0,t] рассматриваем поток B, являющийся суммой простейших потоков b(1) , b(2) , …..b(i)..b(n) . Соответственно плотность суммарного потока определим как сумму плотностей L : L=l(1)+l(2) + …+l(i) ….l(n). Пусть на данном интервале произошло K событий (для нас событие , например, - пуск из УВП). При этом вклад каждого из суммируемых потоков b(i) может быть от 0 до k событий. Автор предлагает представить вероятность (обозначения в общем сохраняются из предыдущего моего комментария по этой теме) того, что на интервале t произошло k событий, в виде суммы двух слагаемых:
P(k,t) = P(k,t,H1) + P(k,t,H2) (3.1)
где P(k,t,H1) - вероятность того, что ни один из суммируемых потоков не даст более 1 события, а P(k,t,H2) – вероятность того, что хотя бы один из суммируемых потоков даст более одного события на интервале [0,t].
Используя свойство ординарности для суммируемых (напомню - это означает ,что f(t)/t -> 0 ( t -> 0 ), или f(t)= о(t) ( t->0 ), f(t) - вероятность того, что на интервале произойдёт два и более события ) автор показывает , что второе слагаемое в (3.1) при растущем n стремится к 0 , P(k,t,H2) -> 0 (n -> oo ). Можно записать (3.1) иначе:
P(k,t) = P(k,t,H1) + о (1) (3.2)
Образно говоря, «вклад почти всех суммируемых потоков единичный » . Это первый важный ключевой момент – сумма вкладов всех прочих суммируемых потоков незначительна и ею можно пренебречь. Ещё раз отмечу - доказательство основывается на свойстве ординарности суммируемых потоков.
2) Учитывая (3.2) , ограничение на плотности суммируемых потоков ( L=l(1)+l(2) + …+l(i) ….l(n) = Const ( n -> oo) , т.е. l(i) -> 0 для любого i )и используя стационарность и попарную независимость суммируемых потоков , автор доказывает , что распределение суммы потоков с параметрами l(i)t является тоже распределением Пуассона с параметром Lt. Не вдаваясь в детали (отмечу только оригинальный прием автора , основанный на разбиении отрезка на подотрезки равной длины и замечание того, что вероятность любого одного из наступивших k событий зависит только от отношения длин подотрезка и отрезка и не зависит от расположения данного подотрезка и от моментов наступления остальных k-1 событий. ) замечу, что попарная независимость в данном контексте является существенно используемым свойством.
Вывод для нашей темы :
обойти условия ординарности и попарной независимости, используя рассуждения данной работы , затруднительно. Следовательно , учитывая отсутствие попарной независимости (оценку существования\несуществования ординарности при последовательных пусках из УВП я делать не рискну и оставлю это специалистам уважаемого Форума) при пусках из УВП, можно сказать , что достаточных оснований для использования уравнений типа ОЛ , которые ,очевидно ,требуют «пуассоновости» суммарного потока выстрелов(пусков) мне не видно. С удовольствием прочитаю комментарии уважаемых форумчан, которые меня в этом разубедят.
ПОДЧЕРКНУ, что я просто привел краткий "срез" рассуждений, ничего большего)
*Я ссылаюсь на работы А.Я.Хинчина ,но явно их не называю Это неправильно, конечно. Поэтому скажу , что пользовался «Работами по математической теории массового обслуживания» под редакцией Б.В.Гнеденко ГИФМЛ 1963год. Довольно большая часть этой книги так или иначе имеет отношение к обсужденному нами вопросу.
Это сообщение редактировалось 25.06.2017 в 19:50