Для того, чтобы найти критический угол, при котором сила трения становится равной проекции силы отталкивания на горизонтальную поверхность и появляется возможность проскальзывание, запишем уравнение:
k*(F*сos(a)+ P) = F*sin(a)
Здесь F - сила отталкивания, P - это вес прыгуна, a - угол между нормалью к горизонтальной поверхности и силой F.
Возведем в квадрат обе части уравнения и преобразуем:
k
2*сos
2(a)+(k*P/F)
2 + 2k
2сos(a)(P/F)=sin
2(a)
(k
2+1)*сos
2(a)+2k
2сos(a)(P/F) + (k*P/F)
2 - 1 = 0
Обозначим P/F = 1/N. Здесь N всегда больше единицы, иначе прыжок невозможен:
Решив квадратное уравнение, найдем:
cos(a)=[(k
2+1 - k
2/N
2)
1/2 - k
2/N]/(k
2+1)
В качесте максимальной силы отталкивания, доступной для тренированных людей, возьмем 3mg. Для Луны, где масса за счет скафандра удвоилась, а гравитация в 6 раз слабее, это можно записать, как 3mg = 9*(2mg/6) = 9P
Для такой силы отталкивания и коэффициента трения на Луне около 0.7 будет угол а=38,6 градусов (k=0.7 и N=9). Для k=0.7 и N=5 получим а=41.5 градусов. Вычислим также угол, который допустим для слабых сил отталкивания, это силы, проекция которых на вертикальную ось незначительно превосходит вес прыгуна. Для этого перепишем исходное уравнение в виде k*(1+ P/F*сos(a))*сos(a) = sin(a)
Обозначим P/F*сos(a) = 1/R
R - всегда больше единицы, поскольку нас интересует наличие прыжка. Подставляем в исходное уравнение
k*(1+1/R)*сos(a)=sin(a)
k*(1+1/R)
2*сos
2(a)=1-сos
2(a)
сos(a) = 1/(k
2(1+1/R)
2+1)
1/2
И из этой формулы видим, что если R стремится к единице, то угол будет 54,46. Легко также видеть, что формулы для угла никак не зависят от ускорения свободного падения, имеет место завимость от коэффициента трения и степени превосходства силы отталкивания F (или её проекции F*сos(a)) над весом P. В том, что полученные значения углов никак не могут быть причиной ограниения высоты прыжка, легко убедится на примере высоких земных прыжков, у которых должное превышение силы отталкивания над весом, эквивалентное лунному (N=7, или N=9) достигаентся за счет
специального приспособления
Таким образом, для высоких прыжков проблемы сцепления не существует, единственное условие, чтобы угол отталкивания не превышал 38-40 градусов от вертикали, это требование точно такое же, как и для земного прыжка с таким же N=7, или N=9. Кроме того, такие прыжки позволяют получить большую дальность при меньшей горизонтальной составляющей скорости за счет выигрыша от времени полета, а чем ниже горизонтальная скорость, тем проще и безопасней остановка, завешение прыжка.
> Американцы на Луне не были