Теплоёмкости и показатели адиабаты атмосферы Урана в диапазоне 4 – 1200 К
Оценка характеристик двигателей и объединённой с ними системы сепарации гелия-3 уранианского дайвера SL II требует проведения расчётов таких элементов и/или агрегатов двигателя и планера аппарата, как газозаборники, сопла, компрессоры, турбины, турбодетандеры и теплообменники. Для таких расчётов в первом приближении можно использовать выражения, выведенные для идеального газа, даже в том случае, когда отклонения в поведении газа от этой модели велики. Необходимо только определить для среднего по агрегату состояния газа значение его показателя адиабаты k, а в некоторых случаях и удельной теплоёмкости при постоянном давлении cp.
Ранее было показано, что в полетной зоне атмосфера состоит только из водорода и гелия с массовым соотношением 0.845 : 0.155. Её молекулярная масса равна m = 2.32 кг/кмоль, а газовая постоянная R = 3.58 кДж/К. Диапазон температур, в котором надо иметь соответствующие данные, составляет от 4 К до 1200 К.
Гелий является одноатомным газом, поэтому в его теплоёмкость вплоть до начала ионизации (которая начинается при температуре существенно выше 1200 К) вносит вклад только его поступательное движение. Поэтому можно считать, что его показатель адиабаты k постоянен во всём диапазоне температур и равен 5/3. Его удельная теплоёмкость при постоянном давлении cp во всём диапазоне принята постоянной и равной 5.20 кДж/(кгК).
Сложнее обстоит дело с соответствующими термодинамическими показателями водорода, который является двухатомной гомоядерной (состоящей из одинаковых атомов) молекулой. Теплоёмкость таких молекул определяется характеристиками её вращательного и колебательного движений. Известно, что при значениях температур ниже определённых происходит квантовое вырождение этих движений, и термодинамические показатели двухатомных молекул при низких температурах становятся такими же, как у одноатомных. Это происходит, когда температура двухатомного газа T оказывается ниже, чем, величина, равная ~ T'/3, где T' – характеристическая температура вращательного движения. Водород является единственной молекулой, характеристическая температура T' которого настолько велика (T' = 85 К), что квантовое вырождение по вращательным степеням свободы влияет на его термодинамические параметры в весьма широкой области температур вплоть до нормальной [5]. И именно в этой области температур должны работать основные агрегаты дайвера за исключением турбины и сопла внутреннего контура двигателя дайвера.
Далее, для молекул водорода возможны четыре спиновых состояния: одно – с нулевым ядерным спином (параводород с чётным значением спина) и три состояния с единичным ядерным спином (ортоводород с его нечётным значением). Термодинамические характеристики этих разновидностей водорода в широкой окрестности характеристической температуры вращательного движения T' заметно различаются. При T >> T' в равновесном состоянии отношение количества молекул параводорода к ортоводороду составляет 1 : 3. С уменьшением температуры это соотношение должно изменяться, и при T << T' равновесие почти полностью смещено к параводороду. Однако, вероятность изменения суммарного ядерного спина при столкновениях молекул очень мала, и переходов между орто- и пара-состояниями практически не наблюдается [5]. Поэтому принято считать, что и при низких температурах квазиравновесное распределение состояний молекул водорода остаётся таким, какое оно есть при нормальной температуре и выше. Зависимости степени квантового вырождения для гомоядерных молекул, нормированные по параметру T', являются универсальными для всех молекул с одинаковыми (чётными или нечётными) спиновыми состояниями.
Можно полагать, что в атмосфере Урана происходит обмен молекулами водорода из нижних, более тёплых слоёв, где равновесное отношение количества молекул параводорода к ортоводороду равно 1 : 3, и это же соотношение сохраняется и в том более низкотемпературном слое (T ~ 53 – 70 К), где должен происходить крейсерский полёт дайвера. Тогда по известным кривым зависимости вращательной теплоёмкости двухатомной гомоядерной молекулы с чётными и нечётными спиновыми состояниями [5] в соотношении 1 : 3 можно получить значения удельной теплоёмкости водорода при постоянном давлении cp в диапазоне температур от 20 К до 400 К, когда уже можно считать, что вращательные степени свободы этой молекулы полностью активированы. При этом для водорода величина cp изменяется от 11.0 кДж/(кгК) до 14.48 кДж/(кгК), а k от 5/3 до 7/5.
Далее начинаются активирование колебательных степеней свободы молекул водорода и медленный рост её теплоёмкости с одновременным снижением показателя адиабаты, что можно увидеть из данных [6]. Термодинамические показатели смеси водорода и гелия после этого легко считаются как сумма их показателей с учётом массового соотношения газов смеси. Выборочные результаты по показателю адиабаты k представлены в приведённой ниже таблице. Удельная теплоёмкость при постоянном давлении определяется следующим образом: cp =
– 1)R, удельная теплоёмкость при постоянном объёме – cv = cp – R =
– 1)R.
Таблица
Смесь 0.845 водорода и 0.155 гелия по массе
T(К) k
20 5/3
40 5/3
50 1.66
75 1.64
100 1.60
125 1.56
150 1.53
200 1.45
300 1.42
400 1.41
800 1.40
1200 1.39
Литература
5. Смирнова Н. А. Методы статистической термодинамики в физической химии. Глава 9.
http://www.chem.msu.su/rus/teaching/smirnova/glava9.pdf
6. Hydrogen - Specific Heat Capacity.
Hydrogen - Specific Heat
Делай что должен, и будь что будет.
Томас Мэлори
Jedem das Seine.
Cicero