МППП "Салют" будет проектировать авиадвигатели на стопроцессорном кластере

Fakir> Миш, ты уплыл в совсем тонкие эмпиреи

Fakir> Вернись на грешную землю

Вообще говоря, основным источником первых интегралов являются различные законы сохранения (энергии, как это было в вышеописанном примере осциллятора, импульса, момента импульса и т. п.)

Различие между двумя приведенными выше примерами первых интегралов характеризует следующее понятие невырожденности. Система непрерывно дифференцируемых первых интегралов V = (V1, ..., Vk) называется невырожденной на D, если в любой точке (t, x) ∈ D ранг ее производной ∂V/∂x равен числу k первых интегралов в этой системе.

 

Признак первого интеграла можно сформулировать в терминах дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. А именно, для того, чтобы непрерывно дифференцируемая вектор-функция V(t, x) была первым интегралом системы (1) на D необходимо и достаточно, чтобы при всех (t, x) ∈ D выполнялось равенство

∂V(t, x)∂t
+ ∂V(t, x)∂x
f(t, x) = 0.

 

Теорема о существовании полного первого интеграла. Пусть выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара, функция f непрерывно дифференцируема и, кроме того, ее производная удовлетворяет условию Липшица по совокупности переменных. Тогда вектор-функция

V(t, x) = gt0t(x) (6)

(t0 — произвольный фиксированный момент времени) является полным первым интегралом системы (1).